1 引言
在使用交流變頻調(diào)速的場(chǎng)合，由一臺(tái)變頻器控制多臺(tái)電機(jī)（一控多）時(shí)，需要實(shí)現(xiàn)變頻器和工頻電源之間的切換控制^[1,2,3]。比較先進(jìn)的控制方式是同步切換，這種方式是將電機(jī)用變頻電源加速到工頻，再使變頻電源的輸出與工頻電網(wǎng)的頻率及相位相一致，確認(rèn)后將電機(jī)由變頻電源切換到工頻電源，即采用鎖相控制^[4]。沖擊電流小是其最大的優(yōu)點(diǎn)。但是一般的鎖相控制用的是pi控制器，響應(yīng)速度太慢，導(dǎo)致切換過(guò)程太長(zhǎng)，對(duì)整體控制系統(tǒng)性能指標(biāo)有嚴(yán)重影響。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制^[5]以提高響應(yīng)速度，但仿真發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差較大，因此改用基于趨近率的變結(jié)構(gòu)控制^[6,7]，并得到了較好的結(jié)果。

2 鎖相環(huán)的基本工作原理
鎖相環(huán)路（pll）是一個(gè)相位跟蹤系統(tǒng)。設(shè)工頻電源信號(hào)：
(1)
式中u_i是工頻信號(hào)的幅度，一般可認(rèn)為是常數(shù)；
ω_i是工頻信號(hào)的頻率，一般可認(rèn)為是常數(shù)；
θ_i(t)是工頻信號(hào)的瞬時(shí)相位，也是u_i(t)的初始相位，一般可認(rèn)為是常數(shù)。
設(shè)變頻器輸出（基波）信號(hào)
(2)
式中u₀是變頻器輸出信號(hào)的幅度，一般可認(rèn)為是常數(shù)；
ω₀(t)是變頻器輸出信號(hào)的頻率，是受控變量；
θ₀(t)是變頻器輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位，是受控變量。
那么鎖相環(huán)路的目標(biāo)是使輸出信號(hào)u₀(t)的相位θ₀(t)跟蹤輸入信號(hào)u_i(t)的相位θ_i(t)，是一個(gè)閉環(huán)的相位控制系統(tǒng)。

3 環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程
從輸入信號(hào)加到鎖相環(huán)路的輸入端開始，一直到環(huán)路達(dá)到鎖定的全過(guò)程，稱為捕獲過(guò)程。捕獲過(guò)程所需的時(shí)間稱為捕獲時(shí)間，它與環(huán)路的參數(shù)和起始狀態(tài)有關(guān)。為使捕獲過(guò)程最短，需要建立環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程以便推導(dǎo)優(yōu)化算法，本節(jié)的任務(wù)是建立環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程。
3.1 相位關(guān)系的描述
輸入輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位差可表示為：
（3）
在式(3)中，θ_i(t)是以輸入信號(hào)的載波相位ω_it為參考的，而θ₀(t)則是以受控變頻器基波相位ω_it為參考的。由于參考不同，θ_i(t)與θ₀(t)無(wú)法直接比較，因此需選擇統(tǒng)一的參考相位。
為分析方便以輸出信號(hào)的基波相位ω_0t為參考相位，則輸入信號(hào)的瞬時(shí)相位可改寫為：
(4)
令： (5)
為工頻信號(hào)頻率與變頻信號(hào)頻率之差，稱為環(huán)路的固有頻差。
再令： (6)
為輸入信號(hào)以ω_0t為參考的瞬時(shí)相位，因此4式可改寫為：
(7)
同理，變頻輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位可以改寫為：
(8)
(9)
式中θ₂(t)也是以ω₀(t)為參考的瞬時(shí)相位。那么利用式(6)和式(9)可表示輸入出信號(hào)的相位。有了共同的參考就很容易比較。將式(6)和式(9)代入式(3)的到環(huán)路的瞬時(shí)相位差：
(10)
瞬時(shí)頻差：
(11)
當(dāng)輸入角頻率與輸出角頻率不同時(shí)，兩信號(hào)矢量將相對(duì)旋轉(zhuǎn)，其夾角θ_e(t)將隨時(shí)間無(wú)限增大，這便是失鎖狀態(tài)。只有當(dāng)兩者角頻率相等時(shí)，夾角θ_e(t)維持不變，通常數(shù)值又小，這是鎖定狀態(tài)，也是切換所要求的狀態(tài)。
3.2 環(huán)路組成
鎖相環(huán)路由三部分組成：鑒相器（pd）、環(huán)路濾波器(lf)和壓控振蕩器（vco）。如圖1所示。

圖1 環(huán)路組成

3.2.1 鑒相器
鑒相器是一個(gè)比較裝置，基本原理如下所述。假設(shè)工頻電源為正弦信號(hào)（一般均能滿足），變頻電源經(jīng)濾波后可近似為正弦信號(hào)（近似程度取決于濾波電路的好壞）。為了與數(shù)字控制系統(tǒng)相匹配而采用觸發(fā)器型數(shù)字鑒相器，其組成示意圖如圖2,工作原理如圖3。當(dāng)檢測(cè)到工頻輸入信號(hào)正向過(guò)零點(diǎn)時(shí)，觸發(fā)器置“1”，而變頻輸入信號(hào)使觸發(fā)器置“0”復(fù)位。兩信號(hào)過(guò)零點(diǎn)之間間隔可控制高速時(shí)鐘計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)值便反映了相位誤差的大小。在圖3中若把變頻輸入信號(hào)及其過(guò)零檢測(cè)電路去掉，則觸發(fā)器置“1”對(duì)應(yīng)正弦信號(hào)正半周，對(duì)其計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)值便反映了信號(hào)的頻率。瞬時(shí)相差與計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值成比例，所以可以近似為一個(gè)線性比例環(huán)節(jié)。

圖2 觸發(fā)器型數(shù)字鑒相器組成示意圖

圖3 鑒相原理圖

3.2.2 壓控振蕩器
在本文中，壓控振蕩器就是變頻器，與電子學(xué)中的壓-頻變換器稍有不同。類似于文獻(xiàn)^[8]中的推導(dǎo)，本文根據(jù)的padé近似導(dǎo)出變頻器的近似模型：
(12)
式中：f_m是設(shè)定最大頻率；
t_m是輸出頻率從零增加到最大頻率時(shí)的時(shí)間；
β是頻率上升斜坡的斜率；
k是頻率給定信號(hào)到頻率的放大倍數(shù)。
若記，則式（12）可寫為：
(13)
3.2.3 相位的狀態(tài)空間表達(dá)式
變頻器輸出電壓基波的瞬時(shí)角頻率變化量的拉氏變換可表示為：
(14)
取變化量是為了方便分析。工頻電壓頻率通常固定為50hz，鎖相的要求為使變頻器輸出的頻率也為50hz，并且兩者相差為零。根據(jù)捕獲過(guò)程對(duì)起始頻差的要求^[4]，需先調(diào)節(jié)變頻器輸出的頻率與工頻基本一致，此時(shí)的變頻器模型近似為一階慣性環(huán)節(jié)容易控制，不詳細(xì)研究。在此可假設(shè)系統(tǒng)已進(jìn)入捕獲帶，那么變頻信號(hào)的瞬時(shí)角頻率可表示為：
(15)
式中ω₀=ω_i=2πf₀=100π；
為變頻器輸出電壓基波的瞬時(shí)角頻率在工頻附近的變化量。
將式（14）代入式（15）得：
(16)
則變頻器輸出相位可寫為：
（17）
與式（8）比較可得：
（18）
求其拉氏變換得：
（19）
這就是圖1中vco的頻域關(guān)系式。為建立環(huán)路的狀態(tài)空間模型改寫為時(shí)域關(guān)系式：
（20）
因?yàn)?EM style="FONT-FAMILY: ">ω_i=ω₀=2лf₀，所以△ω₀=0
則由式（11）和式（20）得：
（21）
令，則：
（22）
（23）
式（22）和（23）就是相位的狀態(tài)空間表達(dá)式。
3.2.4 環(huán)路濾波器
環(huán)路濾波器就是控制器，起低通濾波作用，通常選為比例積分濾波器或rc積分濾波器等等。但是這種控制器的調(diào)整時(shí)間太長(zhǎng)?，F(xiàn)針對(duì)pi環(huán)路濾波器討論。
設(shè)定變頻器的參數(shù)如下：
f_m=50hz；
t_m=5s；
k=10。
則：
(24)
（25）
（26）
記 （27）
取環(huán)路濾波器為：
（28）
可得環(huán)路的動(dòng)態(tài)關(guān)系，如圖4所示。

圖4 環(huán)路的動(dòng)態(tài)關(guān)系

圖4中θ_r=0，即要求穩(wěn)態(tài)無(wú)相差。
可求得閉環(huán)傳遞函數(shù)：
（29）
由hurwitz穩(wěn)定性準(zhǔn)則知：
(30)
相關(guān)數(shù)據(jù)代入式5.22和5.23后得：
（31）
（32）
以采樣周期為0.02s，采用零階保持器進(jìn)行離散化處理得：
(33)
(34)
而環(huán)路濾波器可按向后差分得到，仿真發(fā)現(xiàn)當(dāng)λ=0.115，k=0.1時(shí)捕獲過(guò)程最短。
那么pi控制器為：
(35)
當(dāng)初值為時(shí),相差（縱）-時(shí)間（橫）圖如圖5所示。頻差（縱）-時(shí)間（橫）圖如圖6所示。時(shí)間單位：s（秒）；相差單位：弧度；頻差單位：弧度/s。由圖5和圖6可見捕獲過(guò)程大約需要45s，穩(wěn)態(tài)頻差為零?？梢娖涓欉^(guò)程較慢。

圖5 相差時(shí)間圖（pi控制）

圖6 頻差時(shí)間圖（pi控制）

4 最優(yōu)切換
4.1 bang-bang控制器
為了使捕獲過(guò)程最短，采用bang-bang控制器：
（36）
式中：s(x₁,x₂)為開關(guān)線；
u₀=0.1。
△u所受約束為|△u|≤u0，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為以△u為控制變量，式（31）和式（32）為對(duì)象方程的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題。當(dāng)△u =u₀時(shí)，其狀態(tài)軌線簇為：

當(dāng)△u =-u₀時(shí)，其狀態(tài)軌線簇為：

切換線為：
（37）
開關(guān)函數(shù)為：
s(x₁,x₂)=x₁-r(x₁,x₂)

（38）
由此可得最優(yōu)反饋控制率（36）。在與3.2.4節(jié)相同的條件下可得相差頻差與時(shí)間的關(guān)系分別如圖7和圖8所示。由圖7可見環(huán)路捕獲過(guò)程僅需3s，但是穩(wěn)態(tài)有抖振。從圖8也可看出穩(wěn)態(tài)存在較大頻差，這是不希望發(fā)生的，仍需進(jìn)一步改進(jìn)。

圖7 相差時(shí)間圖（bang-bang控制）

圖8 頻差時(shí)間圖（bang-bang控制）

4.2變結(jié)構(gòu)控制器
對(duì)于離散控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，精確到達(dá)切換線是不可能的，因?yàn)橄到y(tǒng)存在時(shí)間滯后，這是bang-bang控制產(chǎn)生抖振的一個(gè)重要原因。要改善系統(tǒng)的性能就必須減小抖動(dòng)。為此可應(yīng)用趨近率形式的變結(jié)構(gòu)控制。
對(duì)于離散控制系統(tǒng)，從任意起始條件出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，最終會(huì)形成一個(gè)步步反向穿越切換線（面）的運(yùn)動(dòng)。在一定條件下趨近原點(diǎn)鄰域。一般有
(39)
此時(shí)s(x)包含在一個(gè)寬度為2△的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為切換帶。如果能減小切換帶的寬度，便可減小抖動(dòng)。趨近率形式的變結(jié)構(gòu)控制可以做到這一點(diǎn)。
對(duì)于系統(tǒng)(33)，取切換線：
(40)
離散趨近率：
(41)
式中 t為采樣周期；。
取ε=0.1,q=5,t=0.02s,則△=εt=0.002。
計(jì)算差分：

令其等于趨近率，可解出變結(jié)構(gòu)控制：
(42)
式中 c^tb≠0。
在與3.2.4節(jié)相同的條件下可得相差頻差與時(shí)間的關(guān)系分別如圖9和圖10所示。相軌跡如圖11所示，橫軸為相差，縱軸為頻差。由圖9和圖10可見環(huán)路捕獲過(guò)程僅需3s，并且基本無(wú)頻差。由圖11可見極限環(huán)非常小，優(yōu)于bang-bang控制。

圖9 相差時(shí)間圖（變結(jié)構(gòu)控制）

圖10 頻差時(shí)間圖（變結(jié)構(gòu)控制）

圖11 相軌跡（變結(jié)構(gòu)控

5 結(jié)束語(yǔ)
變頻器和工頻電源之間的同步切換控制具有非常重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，這使電機(jī)的起動(dòng)電流比較小，降低了對(duì)電網(wǎng)和對(duì)電機(jī)負(fù)載的沖擊，有利于延長(zhǎng)電機(jī)壽命。但是一般的pi控制算法響應(yīng)太慢，從而影響了整個(gè)控制系統(tǒng)的快速性。本文提出的變結(jié)構(gòu)控制方案，既有bang-bang控制的快速性，又減小了抖動(dòng)，保證了切換的精度。本文僅做了仿真研究，下一步的工作是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究和工程應(yīng)用。

作者簡(jiǎn)介
邵明東（1978-） 男 清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系工程師，研究方向是自適應(yīng)控制、信號(hào)處理以及控制工程，研究興趣是復(fù)雜系統(tǒng)的智能與優(yōu)化控制，基于dsp芯片的控制系統(tǒng)研發(fā)。

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作 者：清華大學(xué) 精密儀器與機(jī)械學(xué)系 邵明東